一、内容提要 如果函数f(x)对于区间(a,b)内任意两个值x1和x2,当x1
在某一区间单调增加或单调减少的函数叫做这个区间的单调函数,这个区间叫做这个函数的单调区间。
二、函数单调性的应用
函数的单调性既属于数学的基础知识,也是解决数学问题的重要工具。许多数学问题,比如,确定参变量的范围、证明不等式、求解三角方程、高次方程、超越方程、求解高难度的不等式,以及确定函数的周期,都要用到函数的单调性。上面我所提到的这些问题看上去用初等方法解决起来都较为困难。但是,如果采用函数的单调性来求解的话,那将变得很简单、可行。
三、例题分析
例1: f(x)=, 其中a是实数,n是任意给定的自然数且n≥2,如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
解:要使f(x)有意义必须且只须 1+2x+3x…(n-1)x+nxa>0恒成立,从而a>
①,令①右端为式g(x),则g(x)在(-∞,1]上单调递增.从而有g(x)≤g(1),x∈(-∞,1]而g(1)=
∴g(x)≤≤ (∵n≥2)
由式①可得a>
例2:设00时,有f(x)在(0,1)上是增函数。则f(x)0
解:改写原不等式为
( )3+>x3+5x
令f(x)= x3+5x, 则原不等式即为
f() >f(x) ⑥
∵f(x)是实数集R上的单调增函数
∴不等式⑥等价于不等式>x
解之得原不等式的解为-1