非线性微分方程的动力学特性研究

摘 要:本文对几类非线性系统的非线性动力学特性进行了深入研究,对系统发生霍普夫分岔的参数条件进行了详细的分析,给出了系统产生霍普夫分岔的参数范围,随后应用中心流行定理对系统进行降维约化,得到了系统平衡点的稳定性。最后,对一类食饵-捕食者系统的非线性动力学特性进行了详细分析和研究。

关键词:非线性动力学 微分方程 霍普夫分岔 中心流形

0.引言

随着科学的发展和进步,在自然科学与社会科学的研究领域内出现了很多新的具有挑战性的数学问题,其中动力系统解的性态分析是近年来研究的热点之一。对非线性动力系统的研究和发展已有一个多世纪, 20世纪70年代至今,非线性动力学的分岔理论及混沌现象的研究成为了非线性微分方程新的研究热点。

如今,幾乎每个学科领域都出现了动力系统现象,从化学中的振荡Belousov-Zhabotinsky反应到电子工程中的蔡氏电路,从天体力学中的复杂运动到生态学中的分岔。尤其在生物数学领域,动力系统被广泛的用来研究系统的稳定性及分岔。刘翠桃对具有密度制约情况下的HollingⅣ类功能反应的系统,徐胜林和肖东梅对一类扩展的捕食者-食饵系统进行了讨论,讨论了系统的平衡点的性态,并证明了极限环的存在性与唯一性及其全局稳定性。Canan Celik研究了对比率依赖性,系统地分析了时滞对模型稳定性的影响,选取时滞作为参数,利用分岔定理得出Hopf分岔,得到了系统周期解的稳定性,并进行了数值模拟。

本文通过对几类不同非线性系统的非线性现象进行研究,特别是几类系统霍普夫分岔进行详细分析,应用中心流形定理对部分系统进行了降维处理,部分系统应用形式级数法对细焦点进行分析。

1.二维非线性系统的霍普夫分岔分析

对式(1.1)所示的二维非线性系统,当

f(x,μ)=ax-y+bx(x2+y2)+cx(x+y2)sinπx2+y3

x+ay+by(x2+y2)+cy(x2+y2)2sinπx2+y2

(1.1)

时的情况,进行定性与分岔分析.

此时,n=2,m=3,X=x

y,μ=a

b

c.显然, O(0,0)为系统的奇点.

为了对参数变化时平衡点处的情况进行分析,做极坐标变换x=rcocθ

y=rsinθ,对时间t求导,

dxdt=drdtcosθ-rdθdtsinθ=arcosθ-rsinθ+br3cosθ+cr5cosθsinπr

(1.2)

dydt=drdtsinθ+rdθdtcosθ=rcosθ+arsinθ+br3sinθ+cr5sinθsinπr

(1.3)

分别进行(1.2)×cosθ+(1.3)×sinθ,(1.2)×(-sinθ)+(1.3)×cosθ可以得到

drdt=ar+br3+cr5sinπr,

dθdt=1.

(1.4)

对参数c分两种情况进行讨论.

(1) 当c=0时,

若a=0,b=0,有drdt=0,此时平衡点O(0,0)为系统的中心,系统零解稳定但不渐近稳定;

若a=0,b≠0,有drdt=br3,

当b>0,有drdt>0,平衡点O(0,0)为不稳定细焦点,系统零解不稳定;

当b<0,有drdt<0,平衡点O(0,0)为稳定细焦点,系统零解稳定.

若a≠0,b=0,有drdt=ar,

当a>0,有drdt>0,平衡点O(0,0)为不稳定焦点,系统零解不稳定;

当a<0,有drdt<0,平衡点O(0,0)为稳定焦点,系统零解稳定.

若a>0,b>0,有drdt>0,此时drdt>0,系统零解不稳定;

若a>0,b<0,此时系统有闭轨r=r0=-ab,又

当r>r0时,drrt<0,t→+∞时,系统的轨线趋向于r=r0;

当0

因此,系统有唯一的闭轨,即极限环,且极限环稳定.

若a<0,b<0,有drdt<0,所有的解都趋于平衡点O(0,0),平衡点O(0,0)为稳定焦点,系统零解稳定;

若a<0,b>0,此时系统有闭轨r=r0=-ab,

当r>r0时,drdt>0,t→+∞时,r→+∞;

当0

因此,系统有唯一的闭轨,即极限环,且极限环不稳定.

图1给出了c=0时的双参数分岔图.

(2) 当c≠0时,

若a=0,b=0,有drdt=cr5sinπr,当r=1n,(n=1,2,3,…),drdt=0,有一系列的闭轨出现;

若a=0,b≠0,有drdt=br3+o(r3),当b>0时,平衡点为不稳定细焦点,零解不稳定;当b<0时,平衡点为稳定的细焦点,零解稳定;

若a≠0,b=0,有drdt=ar+o(r),当a>0时,平衡点为不稳定焦点,零解不稳定;当a<0时,平衡点为稳定的焦点,零解稳定.

图1 时系统的双参数分岔图2.三维非线性系统的霍普分岔分析

对式(2.1)所示的三维非线性系统,当

f(x,μ)=(λ-1)x-y-axz

x+(λ-1)y-ayz

-z+x2+y2-2xyz,

(2.1)

时的情况,进行定性与分岔分析.

此时,n=3,m=2,X=x

y

z,μ=λ

a.分离非线性项,系统变为

dXdt=λ-1-10

1λ-10

00-1X+f1

f2

f3,

(2.2)

其中,f1=-axz,f2=-ayz,f3=x2+y2-2xyz为非线性项.

显然,非线性项满足定理的条件,则对于双曲奇点非线性系统与线性系统奇点类型相同.且O(0,0,0)为系统的平衡点,对于线性化系统矩阵为

A=λ-1-10

1λ-10

00-1,

且A的特征值λ1=-1.λ2,3=λ-1±i.当λ<1时,特征值实部都小于零,平衡点为稳定的焦点;当λ>1时,存在特征值实部大于零,平衡点为鞍点,不稳定.则非线性系统的平衡点O(0,0,0)也分别为稳定的焦点和不稳定的鞍点.

当λ=1时显然满足中心流形存在条件,故设存在中心流形

z=h(x,y)=h20x2+h11xy+h02y2+O(r3)

(2.3)

其中r=x2+y2.

将(2.3)代入hx·dxdt+hy·dydt=-hx2+y2-2xyh,有

(2h20x+h11y)(-y+ah20x3+ah11x2+ah02xy2)

+(h11x+2h02y)(x-ah20x2y-ah11xy2-ah02y3)+O(r5)

=-h20x2-h11xy-h02y2+x2+y2-2xy(h20x2+h11xy+h02y2).

比较x2、y2及xy的系数,得到h11=-h20+1

-h11=-h02+1

-2h20+2h02=h11,解得h02=h20=1,h11=0.故有中心流形z=h(x,y)=x2+y2+O(r3),将其代入系统(2.1)的第一、二式,有

dxdt=-y-ax(x2+y2)-aO(r4),

dydt=x-ay(x2+y2)-aO(r4),

(2.4)

由于系统(2.1)与系统(2.4)的零解稳定性相同,故对(2.4)的零解进行稳定性分析即可.

在零点处的线性化矩阵=0 -1

1 0,特征值为λ=±i.

当a=0时,平衡点O(0,0)为中心,(2.4)零解为稳定但非渐近稳定的.

当a≠0时,取Liapunov函数V(x,y)=12(x2+y2),显然V(x,y)是正定函数,沿系统(2.4)的解求全导数得到

dVdt=x(-y-ax(x2+y2))+y(x-ay(x2+y2))=-a(x2+y2)2.

故根據Liapunov稳定性判定定理,可以知道,当a>0时dVdt<0,零解渐近稳定,O(0,0)为稳定的细焦点;当a<0时dVdt>0,零解不稳定,O(0,0)为不稳定的细焦点.

故对于系统(2.1)的平衡点O(0,0,0),在λ=0时,当a=0时为中心,零解为稳定但非渐近稳定的.由定理知,在原点邻域内的某一曲面上全是闭轨. 当a>0时,零解渐近稳定,O(0,0)为稳定的细焦点,当a<0时,零解不稳定,O(0,0)为不稳定的细焦点.由定理知,λ在小范围内变化时,存在极限环.

3.食饵-捕食者系统的零解稳定性及霍普夫分岔分析

这一部分将对一类正平衡点平移到原点后的两种群非线性食饵-捕食者系统的零解稳定性及霍普夫分岔情况进行讨论.平移后,系统有

f(X,μ)=-y+λx+αxy1+x+y

x+λy+y2+αxy1+x+y,

(3.1)

此时,n=2,m=2,X=x

y,μ=λ

α.分离非线性项,系统变为

dXdt=λ -1

1 λX+f1

f2,

(3.2)

其中,f1=αxy1+x+y,f2=y2+αxy1+x+y为非线性项.

显然,非线性项满足定理的条件,则对于双曲奇点非线性系统与线性系统奇点类型相同.O(0,0)为系统的平衡点.

对系统(3.1)的线性化系统进行分析,则A=λ -1

1-λ,得到A的特征值λ1,2=λ±i.当λ<0时,特征值实部都小于零,平衡点为稳定的焦点;当λ>0时,特征值实部都大于零,平衡点为不稳定焦点;

当λ=0时,做变换dτ=dt1+x+y,则系统变为

dxdτ=(-y)(1+x+y)+αxy=-y-y2+(α-1)xy,

dydτ=(x+y2)(1+x+y)+αxy=x+x2+y2

+(a+1)xy+xy2+y3.

(3.3)

用形式级数法对O(0,0)进行判断.令

F(x,y)=x2+y2+F3(x,y)+F4(x,y)+…,

沿系统(3.1)的解求全导数得到

dFdt=(2x+F3x+F4x+…)[-y-y2+(α-1)xy]+(2y+F3y+F4y+…)[x+x2+y2+(α+1)xy+xy2+y3]

令dFdt=0,对三次项进行考察,有

-yFx+xF3y=-2y3-2αxy2-2αx2y,

(3.4)

进行极坐标变换,令F3(x,y)=r3Φ3(θ),对θ进行求导,

r3dΦ3(θ)dθ=F3θ=-rsinθF3x+rcosθF3y=-yF3x+xF3y,

(3.5)

由(3.4)和(3.5)式可以知道dΦ3(θ)dθ=-2sin3θ-2αcosθsin2θ-2αcos2θsinθ,积分有

Φ3(θ)=-23αsin3θ+23(α-1)cos3θ+2cosθ,

变回直角坐标系,故有

F3(x,y)=-23αy3+23(α-1)x3+2x(x2+y2)=-23αy3+2xy2+23(α+2)x3.

(3.6)

对四次项进行考察,有

-yF3x+xF4y

=F3x[y2-(α-1)xy]-F3y[x2+y2+(α+1)xy]-2y(xy2+y3)

2αy4+(2α2-4)xy3-2αx2y2-2α(α+1)x3y.

(3.7)

进行极坐标变换可以得到

dΦ4(θ)dθ

=4αsin4θ-2αsin2θ+(2α2-4)sin3θcosθ-2α(α+1)sinθcos3θ,

=α(cos22θ-cos2θ)+(2α2-4)sin3θcosθ-2α(α+1)sinθcos3θ,

=α1-cos4θ2-αcos2θ+(2α2-4)sin3θcosθ-2α(α+1)sinθcos3θ,

=12α+ψ*(θ).

(3.8)

其中,ψ*(θ)以2π为周期,且∫2π0ψ*(θ)dθ=0.记ψ(θ)=12α+ψ*(θ)..

由于12α≠0,则(3.8)不存在以2π为周期的解.令

d(θ)dθ=ψ(θ)-12α,

(3.9)

则(3.9)不存在以2π为周期的解.故

f4(x,y)=r4(θ),

(3.10)

为4次齐次多项式,且

r4(θ)θ=r4ψ(θ)-12αr4,

(3.11)

将(3.11)式返回直角坐标系,得到

-yf4x+xf4y

=2αy4+(2α2-4)xy3-2αx2y2-2α(α+1)x3y-12α(x2+y2)2.

(3.12)

F*(x,y)=x2+y2+F3(x,y)+f4(x,y),

(3.13)

则有,

dF*dt=12α(x2+y2)2+o(r4),

(3.14)

所以,由(3.14)知,O(0,0)在的邻域内找到了一正定函数F*(x,y),系统(3.4)对t的导数为(3.14).

故,由Liapunov稳定性定理知,当λ=0时,若α>0时,零解不稳定,O为一阶不稳定细焦点;当α<0时,零解渐近稳定,O为一阶稳定细焦点.

由定理知,在α>0(α<0)时,对充分小的λ<0(λ>0),在O(0,0)的邻域内有渐近稳定的极限环.

由于原系统正平衡点的稳定性与平移后原点的稳定性相同,故当λ<0时,平衡点是稳定的,故当两种群数量在平衡点附近时,两个种群的数量都将趋于这一点.又在α>0时,对充分小的λ<0,在平衡点的邻域内有渐近稳定的极限环,则此时两种群的数量可能会产生周期性的变化.

4.结论

本文对几类非线性系统的非线性动力学特性进行了深入研究,对两类二维和三维系统发生霍普夫分岔的参数条件进行了详细的分析,应用中心流行定理对系统进行降维约化,给出了系统产生霍普夫分岔的参数范围。随后对食饵-捕食者系统进行分析,得到了系统平衡点的稳定性。

参考文献:

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[2]徐胜林,肖冬梅.一类捕食与被捕食系统的定性分析.华中师范大学学报(自然科学版),1999,33(1):1-10.

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[4]刘翠桃.捕食者与被捕食者问题的定性分析.河南科学.2009,27(9): 1044-1046.

[5]Canan Celik.The stability and Hopf bifureation for a predator-prey system with time delay[J] .Chaos. Solitions and Fractals,2008(37):87-99.